Variétés de Shimura et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) est l’un des sept problèmes non résolus en mathématiques désignés en 2000 comme les problèmes du prix du millénaire. Concernant les solutions rationnelles aux équations définissant les courbes elliptiques, de nombreux progrès ont été réalisés pour une importante classe de courbes elliptiques sur les rationnels. Le projet ShimBSD, financé par l’UE, entend considérablement élargir les descriptions. Les chercheurs envisagent de prouver, par une approche innovante, de nouveaux cas de la conjecture BSD et d’autres conjectures au-delà du domaine des dernières percées critiques des années 1990.

L’un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques est la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD), qui prédit que la taille de l’ensemble des points rationnels sur une courbe elliptique est déterminée par l’ordre d’annulation en s = 1 de sa fonction L de Hasse–Weil. S’appuyant sur une avancée cruciale réalisée par Kolyvagin dans les années 1990 — la découverte du premier exemple d’un « système d’Euler » —, la conjecture BSD a désormais été démontrée pour une large classe de courbes elliptiques sur les rationnels : celles où l’ordre d’annulation de la fonction L (le « rang analytique ») est 0 ou 1, ce qui, selon la conjecture, représente 100 % des courbes elliptiques.

Cependant, le cas des courbes elliptiques sur les rationnels n’est que la partie émergée de l’iceberg. Des versions de la conjecture BSD sont également attendues pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres, et plus généralement pour les variétés abéliennes de toute dimension (les courbes elliptiques constituant le cas de dimension 1). De manière encore plus générale, la conjecture de Bloch–Kato prédit que pour toute fonction L issue de la géométrie, son ordre d’annulation en tout point entier encode une information géométrique. Toutefois, ces conjectures restent hors de portée du système d’Euler de Kolyvagin.

L’objectif de ma proposition est de démontrer de nouveaux cas de la conjecture BSD et de la conjecture de Bloch–Kato, en utilisant de nouveaux systèmes d’Euler issus de la géométrie des variétés de Shimura unitaires et symplectiques. En particulier, je démontrerai le cas de rang 0 de la conjecture BSD pour les surfaces abéliennes sur les rationnels, les courbes elliptiques sur les corps quadratiques imaginaires et les variétés abéliennes de dimension trois à multiplication complexe, en supposant que des résultats de modularité appropriés soient valables pour ces objets (ce qui est connu dans de nombreux cas).